什么是移动平均法（移动平均法的7大内容）

1 前言

移动平均（Moving Average，MA），又称移动平均线，简称均线。作为技术分析中一种分析工夫序列的常用工具，常被应用于股票价格序列。移动平均可过滤高频噪声，反映出中长期低频趋势，辅助投资者做出投资判定。

根据计算办法的不同，盛行的移动平均包括简朴移动平均、加权移动平均、指数移动平均，更高阶的移动平均算法则有分形自顺应移动平均、赫尔移动平均等。这其中，简朴移动平均又最为常见。下图为上证指数日线的 5 个不同计算窗口（20 日，50 日，120 日，200 日，300 日）的简朴移动平均线。

简朴移动平均（Simple Moving Average, SMA）就是对工夫序列直接求等权重均值，因此运用简朴。但其最令人诟病的就是它的滞后性。从上图不难看出，伴着计算窗口 T 的增大，移动平均线越来越光滑，但同时也越来越滞后。以 120 日均线为例，在 2015 年 6 月份之后的大熊市开始了很长一段工夫之后，120 日均线才开始呈现下降趋势。假如我们按照这个趋势进行投资，那这个滞后无疑造成了巨额的亏损。

现实上，任何移动平均算法都会呈现肯定的滞后性。它以滞后性的代价换来了光滑性，移动平均必须在光滑性和滞后性之间取舍。然而，滞后性是怎么产生的呢？简朴移动平均在工夫上滞后多少呢？有没有什么高级的移动平均算法能在保证光滑性的同时将滞后性减小到最低呢？这些就是本文要回答的问题。

2 移动平均的实质

移动平均的实质是一种低通滤波。它的目的是过滤掉工夫序列中的高频扰动，保留有用的低频趋势。如何从工夫序列中抽取出真正的低频趋势呢？无论采取哪种移动平均算法，理论上的计算办法都相同，下面我们简要说明。同时，我们也会清楚地阐述该计算办法仅在理论上有效，而在实际应用中是无法完成的，并由此揭示产生滞后性的原因。

假设我们有一个工夫序列 y = ｛…, y_(t-2), y_(t-1), y_t, y_(t+1), y_(t+2), …｝，如下图所示。另外，假设我们有一个作用在时域 t 上的过滤函数 F（注：这个 F 的详细形式根据不同的移动平均算法而不同）。

在理论上，在任意 t 时辰的低频滤波（用 x_t 示意）在数学上可以示意为该工夫序列 y 和过滤函数 F 在整个时域上的卷积，即

其中，F_i 为过滤函数 F 在时辰 i 的取值。由于在实际中不可能用到无穷多的数据，因此可以考虑给过滤加一个窗函数，即过滤函数 F 只在窗口长度 T 内有效、在窗口之外为 0，如下图所示：

加入长度为 T 的窗函数后，在时辰t的低频滤波变为该工夫序列 y 和过滤函数 F 在这个窗口内的卷积：

然而，无论是否运用加窗函数，上述公式最大的问题是，在计算t时辰的低频分量时，利用到了未来的数据。换句话说，理论上的低通滤波（或者移动光滑）必须要用事后数据，其假设所有数据都发生后再在全局上计算所有时点的低频分量。但这在实时数据中是不可能的，因为在任何当前时辰 t，我们都没有未来数据可以利用。

正因如此，在实际应用中，我们无法运用 t-(T-1)/2 到 t+(T-1)/2 之间的数据，只能退而求其次运用 t-(T-1) 到 t 之间的数据。这相称于我们把计算低频趋势的过滤窗函数在时域上向左平移 (T-1)/2 个单位，如下图所示：

如此处理后，对于实时数据，在当前时辰 t 的低频滤波变为该工夫序列 y 和过滤函数 F 在 t-T+1 到 t 之间的卷积：

没有未来数据便是滞后的根本原因。

对于简朴移动平均来说，在窗口 T 内，过滤函数在每个时点的取值都是 1/T。利用上述公式计算得到的实际上是 t-(T-1)/2 时辰（而非 t 时辰）的低频趋势，而我们把它当作 t 时辰的低频趋势运用，这便产生了 (T-1)/2 的滞后。当我们运用简朴移动平均时，在当前时辰 t，对于给定的工夫窗口 T，我们仅能求出 t-(T-1)/2 时辰之前的低频趋势，而无法求出 t-(T-1)/2 之后的低频趋势。这也解释了为什么工夫窗口 T 越大，滞后 (T-1)/2 越多。这就是为什么看股票数据里面 MA20、MA30、MA50 等日均线这种，计算均线的窗口 T 越大，得到的移动光滑曲线越滞后。

既然无论如何都没有未来数据，那么是否意味着我们就只能接受移动平均的滞后性呢？答案是否定的。换个角度来考虑这个问题，滞后性说明由简朴移动平均计算得到的低频趋势对近期的最新数据不够敏感。这是由于它在计算低频趋势时，对窗口内所有的数据点都给予相同的权重。按着这个思路延伸，天然的主意就是在计算移动平均时，给近期的数据更高的权重，而给窗口内较远的数据更低的权重，以更快的捕获近期的变化。由此便得到了加权移动平均和指数移动平均。

3 加权移动平均

在计算加权移动平均（Weighted Moving Average, WMA）时，窗口内的过滤函数的取值从当前数据到之前第 T-1 期的数据依次线性递减。因此，第 t-i 期的 F_(t-i) 为 2(T-i)/(T(T+1))，i = 0, 1,……, T-1。该权重是 i 的单调线性递减函数。下图为 T = 15 时不同 i 的取值对应的权重（图片来自 wiki）。

在确定了权重后，t 时辰的加权移动平均（记为 WMA_t）由下式得到：

值得一提的是，由于严格的按照线性递减，因此权重会最终在当前时辰之前的第 T 期时点衰减为 0。

以上证指数过去 10 年的日数据为例，下图比较了 T = 100 时的简朴移动平均和加权移动平均的过滤效果。加权移动平均比简朴移动平均对近期的变化更加敏感，尤其是在牛熊市转换的时分，加权移动平均的滞后性小于简朴移动平均。但是，由于仅采用线性权重衰减，加权移动平均仍旧呈现出滞后性。

4 指数移动平均

指数移动平均（Exponential Moving Average, EMA）和加权移动平均类似，但不同之处是各数值的加权按指数递减，而非线性递减。此外，在指数衰减中，无论往前看多远的数据，该期数据的系数都不会衰减到 0，而仅仅是向 0 逼近。因此，指数移动平均实际上是一个无穷级数，即无论多久远的数据都会在计算当期的指数移动平均数值时有肯定的作用，只不过离当前太远的数据权重非十分低，因此它们的作用往往可以忽略。

在实际应用中，t 时辰的指数移动平均（记为 EMA_t）可以按如下办法得到：

其中 alpha 示意权重的衰减程度，取值在 0 和 1 之间。alpha 越大，过去的观测值衰减的越快。虽然指数移动平均是一个无穷级数，但在实际应用时，我们也常常看到 T 期指数移动平均的说法。这里的 T 是用来计算 alpha 的参数，它不示意指数衰减在 T 期后结束。alpha 和 T 的关系为 alpha = 2/(T+1)。下图为 T = 15 时不同时辰的权重（图片来自 wiki）。可以看到，任何一期的权重都不会衰减到 0。

下图比较了 T = 100 时简朴移动平均、加权移动平均和指数移动平均的光滑效果。指数移动平均由于对近期的数据赋予了更高的权重，因此它比加权移动平均对近期的变化更加敏感，但这种效果在本例中并不显著，指数移动平均也存在肯定的滞后。

当 alpha = 1/T 时，得到的指数移动平均又称为修正移动平均（Modified Moving Average，MMA）或光滑移动平均（SMoothed Moving Average，SMMA），它们在应用中也非常常见。比如，在计算技术指标 ADX 的时分，就应用到了光滑移动平均。感爱好的读者可参考文章《精选技术指标系列（1）：ADX》。

无论是加权还是指数移动平均，它们都是通过对近期的数值赋予更高的权重来提高低频趋势对近期变化的敏感程度。然而，它们的计算表达式（或算法结构）是固定的，在整个工夫序列上的各个时点都运用同样的结构（即一成不变的权重分配办法）计算移动平均，而不考虑工夫序列自身的特点。

一个优秀的移动平均算法计算出来的均线应在工夫序列自身波动不明显的时点充足光滑，而在工夫序列自身发生巨变时飞快捕获、将滞后最小化。要想达到这种效果，就必须利用工夫序列自身的特点。分形自顺应移动平均算法就是这样一个有力的工具。

5 分形自顺应移动平均

顾名思义，分形自顺应移动平均（FRactal Adaptive Moving Average，FRAMA）利用了投资品价格序列的分形特征（关于什么是分形，请参考《分形市场假说》）。简朴的说，该算法通过一个简朴的公式计算从工夫序列从当前时点往前 2T 长度的工夫窗口内的分形维数 D，并利用分形维数进一步求解指数移动平均的参数 alpha。

分形维数描述工夫序列的趋势，其取值在 1 到 2 之间，越大说明趋势越明显，越小说明工夫序列越随机。因此，通过连续的计算工夫序列局部的分形维数，该算法可以动态的、自顺应的根据工夫序列的特征计算光滑所用的参数。由于 alpha 是 D 的减函数，因此 D 越大（趋势越明显），alpha 越小，即指数光滑时对过去的数值衰减的越慢；D 越小（随机性越强），alpha 越大，即指数光滑时对过去的数值衰减的越快、对最新数据的变化越敏感。

详细的，对于当前时点 t 和给定的窗口 T，该办法用到了三个工夫窗口，即 t 到 t-T+1（记为窗口 W1，长度为 T），t-T 到 t-2T+1（记为窗口 W2，长度为 T），以及 t 到 t-2T+1（记为窗口 W，长度为 2T）。不难看出，W = W1+W2。该办法的步骤如下：

计算 FRAMA 均线的步骤

用窗口 W1 内的最高价和最低价计算 N1 = (最高价 – 最低价) / T

用窗口 W2 内的最高价和最低价计算 N2 = (最高价 – 最低价) / T

用窗口 T 内的最高价和最低价计算 N3 = (最高价 – 最低价) / (2T)

计算分形维数 D = [log(N1+N2) – log(N3)] / log(2)

计算指数移动平均的参数 alpha = exp(-4.6*(D-1))，并使其满意在 0.01 和 1 之间

将 alpha 带入指数移动平均的公式求解 t 时辰的 FRAMA 移动平均值

下图比较了 T = 100 时指数移动平均以及分形自顺应移动平均的光滑效果。很明显，由于利用了工夫序列自身的分形特征，FRAMA 均线对滞后性的提高十分明显，这意味着在价格趋势发生变化的时分它捕获的更加及时。当然，取决于选取的参数，FRAMA 均线在一些局部可能不够光滑，它体现了一种动态的对光滑度和敏捷度的取舍。

6 赫尔移动平均

最后，我们再介绍一种业界常用的高级移动平均算法，即赫尔移动平均（Hull Moving Average，HMA）。它由 Alan Hull 发明，故由此得名。该算法最大的特点是在减少滞后的同时有效的提高了均线的光滑程度。

在本文中，我们并不对它背后的逻辑做太多的剖析，这将留到今后某一期的精选技术指标中介绍。我们直接给出它的计算步骤。对于给定的窗口 T：

计算 HMA 均线的步骤

计算窗口为 T/2 的加权移动平均，并把结果乘以 2（假如 T/2 不是整数则取整）

计算窗口为 T 的加权移动平均

用第 1 步的结果减去第 2 部的结果，得到一个新的工夫序列

以第 3 步得到的工夫序列为对象，计算窗口为 sqrt(T)，即根号 T，的加权移动平均（假如根号 T 不是整数则取整）

上述步骤的数学表达式为 HMA = WMA((2*WMA(y, int(T/2)) – WMA(y, T)), int(sqrt(T)))。

最后，比较 T = 100 时候形自顺应移动平均和赫尔移动平均的光滑效果。令人惊喜的看到，HMA 均线有着不输 FRAMA 均线的敏捷性（滞后性十分低），并且在局部也提高了光滑性，确实做到了在保证光滑性的同时最大的升高了滞后性。

7 结语

作为技术分析的利器，移动平均线人人都在看、人人都在用。可又有多少人想得清晰、用的知道呢？本文详尽的分析了移动平均技术的实质，揭示了滞后性产生的原因。通过对五种不同过滤技术的分析和对比，说明了高级的移动平均技术（比如 FRAMA 和 HMA）可以有效的升高滞后性并保证均线的光滑性。