负数包括什么？负数包括什么分数吗

负数包括什么？为什么会出现负数？这些问题的答案可能会颠覆你的认知。今天我们就来聊聊负数的那些事儿。首先我们要明确一个概念，负数是一个数学名名词，它的意思是一个数字的最大值与最小值之比。那么什么是负数呢？简朴来说，负数就是一个数字的最大值与最小值之比小于1的数字。举个个例子，你的手机号码是1001，那么你的手机号码就是1001×1=1001×1，这个数字就是负数。

一：负数包括什么

此问题只需了解一个概念即可豁然而解了根据个位数、十位数的概念个位数：小于10的正整数 称为个位数多位数：不小于10的整数称为多位数所以得出两位数、三位数、N位数不包括负数。

二：非负数包括什么

非负整数就是正整数和零。也就是除负整数外的所有整数。非负整数集是一种特定的集合，指全体天然数的集合，包括0、1、2、3等，常用符号N示意。非负整数集是一个可列集。和非负整数集等势的集合有：1、由天然数的有限序列组成的集合5、可数个可数集合的并集

三：什么叫做负数

负数在数学上是指小于〇的实数。与负数相对应的概念是正数，正数是大于0的实数。正数和负数都是实数。负数和〇是非正数，而正数和0就是非负数。所以，实数依据正负可以划分为负数、0和正数三个组成部分。0既不是正实数也不是负实数。负数是一个无限集合，这个集合由无数的负数组成，因为负数具有无穷大的性质。所以，负数集合是无限集合。

四：负数包括什么分数吗

前段工夫收到一位热心读者的邮件。信中提到，假如认定1-1+1-1……=1/2为现实，就会得出1+2+3+……=-1/12这样难以令人理解的结论。这位读者所提及的天然数求和问题，恰巧在量子理论和弦理论中都起到颇为重要的作用。从真空的能量，到时空的维度数量，都与天然数之和有着微妙的联系。在这个小小的数学魔术里面，以至还隐含着时空不连续的秘密。

撰文 | 董唯元

数学老师曾告诉我们，只有收敛的级数才能求解无穷项之和，然而在一些科普书中，却会碰到一个神奇的求和：

所有天然数之和怎么会是负数，而且还是个分数？这到底是人性的扭曲，还是道德的沦丧？

把对称轴当作级数和

想要理解这个古怪的结论，我们先来看一个简朴的例子：1, -1, 1, -1, ……这个序列可以求无穷项之和吗？意大利数学家格兰迪（Dom Guido Grandi，1671-1742）早在1703年就开始认真琢磨这个问题，可以说，这是所有发散级数求和研究的起点，这个序列后来就被命名为“格兰迪级数”。

意大利数学家格兰迪丨图源：维基百科

也许有小同伴预测，这个序列中1和-1的数量既然同样多，那么总和就应当等于0。可惜这样的预测是错误的。无穷集就像个再生能力很强的变形虫，部分与整体同样多。我们从序列中拿走任意个1或者-1之后，剩下的1和-1数量仍旧相同。假如所剩下的1和-1加和为零的话，那么岂不是总的求和仅由先取出的1或-1的数量决定——也就是任意整数。这显然太不靠谱了，看来压根不能依赖比较1和-1的数量来求和。

还有个方法，就是借助收敛的级数寻觅线索。我们明白，在|q|<1时，

现在我们粗暴地让q=-1，于是就出现了

这个结果好像还能令人接受，可是，q=-1究竟是个“不合法”的条件，我们需要更合理的途径来安抚内心的不安。假如把这个级数的前n项和记做A(n)，我们现在动手来求A(∞)。

哈！根据这个等式，我们又一次得到了A(∞)=½ 的结果。这回貌似没有明显违法的地方了，警察来了也不怕。可是，总还是感觉哪里不对。

A(1)=1

A(2)=1-1=0

A(3)=1-1+1=1

…

可以看出A(n)在1和0之间往返跳动，按照极限的定义，

这个极限不存在。当我们写下A(∞)这个符号时，它毕竟指代什么，还没有清晰的定义。其实这也是发散级数求和的基础问题：如何定义发散级数的和。

相关的定义不止一种。大体来说，主要有切萨罗求和与阿贝尔求和两类，另外拉马努金和黎曼等人也发展出很多更一般性的理论，中间还掺有源自欧拉的诸多贡献。那些数学语言虽严格，但催眠和劝退的副作用也不小，所以本文不打算纠结于那些从集合论谈起的基础定义，只运用十分“物理”的视角来定义：A(∞)示意所有A(n)的平均值。

以“平均值”定义的求和方式，使很多发散级数都可以进行求和。例如

1-2+3-4…

这个级数，也可以用同样的办法直接用眼睛瞪出结果。我们用B(n)示意前n项和，即

那么

B(0)=0

B(1)=1

B(2)=1-2=-1

B(3)=1-2+3=2

…

把这些B(n)所对应的点画在图上之后，完全不需要动笔计算，用眼睛就可以直接看出所有B(n)的平均值是1/4。

假如只看图还不放心，我们也可以借助前面A(∞)=½ 的结论来推算B(∞)：

轻微调整等式右边的计算顺序，先让前面括号内第n项减去后面括号内第n项，然后再做加和。

即

A(∞)-B(∞)=B(∞)

所以

B(∞)=½A(∞)=¼

把天然数之和变成-1/12的魔术

当然，画出点来再用眼睛直接瞪出结果的办法，有时分也需要一些技巧。就以全体天然数之和为例，我们同样地令C(n)代表前n项和

麻烦出现了！显然C(n)对应的点都分布在一根上扬的抛物线上，没方法直接看出平均值，而且看起来压根就不存在有限的平均值！别急，我们可以继承变形。

这样我们就把每个C(n)对应的点，都拆成上式中绿色项和紫色项所对应的两个“半点”分别画出来，居然又可以凑成两条对称的曲线。

当我们把无限个“半点”都辛劳画完之后。就可以指着两根曲线中间的对称轴公布：

因为所有C(n)的平均值就等于所有“半点”的平均值，而两根曲线上的“半点”分布完全对称，只在绿色曲线的开头位置差了一个无关紧要的0。

除了看图猜值，我们也可以借助刚才的B(∞)=¼ 那个结果，再来计算一遍C(∞)。

调整顺序后

于是得到

所以

其实，能够得到 -1/12 这个结果的途径还有很多。例如神奇的Zeta函数

这个以复数s为变量的函数，因闻名的黎曼猜想及其与数论的紧密联系而被反复研究。数学家们可以写出这个函数的很多种变化形式，其中一种解析延拓到全部复平面的形式是

用这个形式也可以计算出

既然经过这么多五光十色的方式，都殊途同归到 -1/12 这个结果，我们是不是可以把 1+2+3+…=-1/12 这个式子冠冕堂皇地写进中学课本中呢？相信很多人会跟我一样，对此仍惶恐不安。因为在前述所有推演过程中，都埋藏着一个颇为隐蔽的问题，那就是等号的意义。将

或

直接写成

好像天经地义，但其实两个式子中，前面的“=”代表的是“定义为”，而不是量值相等。所以，更清晰的写法应当是

和

这样就能看出，-1/12 这个数值，并不像1+1=2那样天然天成理所应该，而是需要事先假定“全体天然数之和是一个确定的数”，然后再精心选择出一个逻辑自洽性最好的数值，指定其为全体天然数之和。只不过当逻辑自洽性和直觉发生明显冲突的时分，我们都会感觉惊诧，这在数学发展的道路上已经不是什么新鲜事了。

伸向无穷大的剪刀

前面的讨论中，我们直接无视了数学极限概念，粗暴地运用平均值当做发散级数的和。现在让我们重新捡起极限概念，从另一个角度看看-1/12是怎么跑出来的。

对C(n) 这个发散级数，我们可以引入某个剪刀函数f(x) 来压制那些趋向无穷大的项，从而使发散的趋势在某个特定的位置N附近停下来，并最终收敛到某个极限S(N)。这样我们就用标准的极限概念构造出一个S(N)，当N有限时，S(N)是个有限值，而当N趋于无穷大时，S(N)就对应着全体天然数之和。

可以充当剪刀的函数有很多，比如我们取

此时

通过数值计算，我们发现S(N)伴着N的增加而奔向正无穷。这倒是符合我们先前的直觉了，可是说好的-1/12呢？别急，我们再把S(N)用1/N张开看看。我们发现S(N)在大N的数值结果，可以被下面的张开式很好的拟合

哈！居然又看到了这个-1/12，它是S(N)张开式中的常数项。也就是说，在S(N)中与N的变化无关的成分，就是-1/12。当N充足大时，那些含1/N的项都可以忽略，S(N)可以被看做一根最低点在-1/12处的抛物线。

我们再取剪刀函数f(x)=e^（-x） 试试。此时

这个求和可以严格计算出来。我们先对下面的等式两边求β的导数

可以得到

同样在大N条件下做1/N张开，就得到

取β=1就得到

同样也出现了常数项-1/12，而且也是根下垂到-1/12处的抛物线

假如f(x) 直接取为跳变函数，也就是在 n=N处忽然截断，那么

就不会有-1/12这个常数项。

看起来，除了跳变函数的忽然截断，其他光滑的截断方式都能得到

这个有趣的结果。这好像是告诉我们，全体天然数之和即使注定无法挣脱走向无穷大的宿命，却出于某种奥秘的理由始终对-1/12情有独衷。亦或可以说，

发散项只是平庸无奇的底色，而-1/12才是刻写在底色上的性格内核。

真空的能量

站在适用的视角来说，我们有时分需要像运用收敛级数一样处理天然数之和，所以就不得不找到某个确定的“缰绳”来驾驭。比如在研究真空能量的时分，物理学家就碰到了全体天然数之和，而且十分希望这个和是个确定的数。

在量子场论的理论模型中，真空就像一张立体弹簧网，由无数小弹簧横纵交织而成。而所谓粒子，就是其中某些小弹簧的振动充足剧烈，甚至于远眺望去以为弹簧网中出现了什么异物似的，但只要凑到近处就会看出，那里除了振动本身别无他物。也就是说，粒子实质上就是真空的振动。因此，当能量变化时，粒子的数量不必受任何守恒律的约束，可以凭空增加或者减少。不过，粒子能否产生或消失却与小弹簧的振动频率有关。在振动频率为ω时，粒子数n与场的能量E之间存在这样的关系：

从关系式可以看出，真空每攒够一份ћω大小的能量，就会产生出一个粒子；反之每减少一份就会擦除一个粒子。或者干脆说，每个粒子其实就是个ћω大小的能量包。有趣的是n=0时，它对应着真空里没有粒子的情景，此时能量是½ћω。也就是说，当真空的能量低到不能再低的时分，能量仍旧不是0，这就是真空零点能。下面我们来详细计算一个有限空间内的真空能量，看看它与全体天然数求和到底是什么关系。

将所有频率的零点能累加起来，真空中总能量就是

瞧，天然数之和

就这样出现了，现在你应当能够理解，物理学家们是多么希望

是个确定数值了吧。更有意思的是，假如姑且憨憨地认为天然数之和就是-1/12的话，我们以至可以设想一个物理试验来验证这个结论。

如下图这样放置三块相互平行的金属板，使甲乙之间距离为a，乙丙之间距离为b。

根据刚才的结论，我们明白甲乙之间的真空能量是

乙丙之间的真空能量是

现在我们想明白，当a＜b时，中间位置的金属板乙会受到哪个方向的力。根据能量对位置的偏导可以求解受力情景。结果发现：假如

的话，金属板乙会受到一个向右的力；反之则受到向左的力。

其实，试验装置还可以进一步简化，我们可以把最右边的丙拿到无穷远处，只留下甲和乙，然后测量甲乙之间是吸引还是排斥，假如相互排斥，就说明

反之则说明

这个试验设计最早由荷兰物理学家卡西米尔（Hendrik Casimir，1909-2000）在1948年提出，当然提出试验的目的才不是测量天然数之和，而是为了验证真空零点能的存在。现实上，卡西米尔当年在提出这个试验的时分，就已经预言两金属板之间相互吸引，也就是对应

的情景，因为他的理论推算过程已然采用了解析延拓后的黎曼Zeta函数。1996年，华盛顿大学的Lamoreaux用试验证明了卡西米尔效应的存在，论文发表在1997年1月的《物理评论快报》（PRL）上。

需要澄清的是，卡西米尔效应的试验证明，只能说明真空零点能的存在，但是并不能真的用来验证数学意义上的所有天然数之和。其实，事实中的金属板只能阻拦有限频率范围内的电磁波，当频率大过某个数值时，金属板就无法阻拦这种极高频率的波。所以从更精确的角度计算卡西米尔效应时，需要考虑这种高频截断。不过详细计算会用到欧拉-麦克劳林公式和伯努利数这些催眠的内容，本文就不再触及了。

下面我们转到弦理论，看看所有天然数之和是如何与维度的数量产生关系的。

时空的纬度

前面提到，两端固定的一根弹簧之上只能存在驻波，所有振动频率只能是最低频率的整数倍。对一根两端完全自由的弦来说，结论同样成立。两端固定意味着端点速度为零，而两端自由则意味着端点的加速度为零。二者之间的差别，无非就是傅里叶分解时该写成

还是

而已。也就是说，长度为L的弦，一定有个像天然数序列一样的离散频率谱

另外，弦理论中的量子化方式与量子场论所运用的技术手段如出一辙，所以同样存在

关系。这意味着能量最低的弦并不是完全静止，而是具有

的能量，而且在每一个可以振动的维度上，都有这些能量。

假设空间维度数是d，那么一个被激发成光子的弦所具有的最低总能量就是

妥妥的又出现了

相对论告诉我们，光子的最低能量应当是零，所以跟相对论兼容的弦理论必须满意

推演到这里，我们就要祭出

这个大招，求解出d=25，也就是空间维数必须是25维，加上工夫，总共26维时空。

在超弦理论中，由于超对称因素的引入，弦的基态能量提升为3倍，光子能量约束条件变成了

由此求出d=9，加上一个工夫维度，总共凑成10维的时空。

以上就是玻色弦理论要求25+1维时空，以及超弦理论要求9+1维时空的故事梗概，希望读者能借助这些实例，对天然数之和在物理中的作用设立一些具像理解。

离散的时空

为了保持话题的收敛性，前文论述中刻意略过了很多有趣的细节。例如在弦的基态振动模式中，假如存在

的成分，那么必然有

这就意味着仅在弦的一个振动模式里，就包含了无穷大的能量。同样的，真空零点能的计算中，也会不可避免地含有能量无穷大的成分。这显然都太不适合，我们的理论模型需要有个边界，来防止这种在极高频率方向“紫外灾害”的发生。

之所以能产生无限大的频率，就是因为我们答应存在无限小的波长。那么天然就会意识到，可以消退“紫外灾害”的理论模型中，空间必然存在有限的最小尺度。更直白地说，就是空间不可能是连续的舞台，而必须是离散的梅花桩。这个最小尺度毕竟是多少呢？一个自然的候选者，当然就是普朗克长度。

假如某个粒子的波长比普朗克长度还要短，那么这个粒子就会由于具备了太高的能量而把自己就地变成黑洞，而且这个黑洞所覆盖的区域又会超出普朗克长度。于是，普朗克长度就成了现有理论中最为天然的时空基本像素。

于是，先前的

就变成了

显然，呈正比的那部分能量，在乙板左右产生的作使劲一直相互抵消，只有第二部分呈反比的能量，才对乙板产生了作使劲。由此可见，卡西米尔效应是在两个巨大的首项恰好相互抵消之后，在第二项上显现出的效应，所以这种力异常微弱，只有把两个面积达平方米量级的金属板靠近到微米距离时，才能产生可供测量的吸引力。

现在我们才算真正解释了卡西米尔效应与天然数之和的关系，假如未来再碰到有民科企图用这个试验来证实天然数之和是个负数，尽可以当机立断地送他一个白眼。

五：复数集包括什么

本来是三次方程的求根碰到的问题，后引入复数，还有复数的向量模式，三角形式棣美弗定理等等。想要深刻的学习的话，去买本复分析看看，很快就能懂的。全体实数与全体虚数构成的集合