“概率统计”基础科普(7)：n重伯努利试验

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之前已经介绍过，概率问题可以分为两大类：连续型事件和离散型事件。

连续型事件又有三种常见的情景，或者叫“连续型随机变量的三种重要的分布类型”：

1、均匀分布。比如往地上扔一个纸团，求纸团落在特定范围内的概率。

2、正态分布。比如身高这类符合“中央极限定理”的随机变量。

3、指数分布。比如财富这类具有“正反馈机制”的随机变量。

在离散型事件中，最重要的概念是：n重伯努利实验。最重要的两种模型是：二项分布和泊松分布。

一、n重伯努利实验

把某件事重复做n次，假如每次的结果只有两种可能，而且每次的结果互不影响，这就叫n重伯努利实验。

比如买彩票，结果只有中和不中两种可能，这次中不中不会影响下次中不中，一年有n期开奖，就可以近似看成一个n重伯努利实验。

二、二项分布

假设每次实验胜利的概率为p，那么失利的概率q=1-p，则在n重伯努利实验中，一共胜利了k次的概率为：

这就叫二项分布。

三、泊松分布

按照上面的公式，求二项分布概率的计算量很大。但是当n比较大（大于10），且p比较小（小于0.1），也就是说假如反复尝试一件胜利率不高的事，那么尝试n次之后，一共胜利了k次的概率为：

这就叫泊松分布。

泊松分布的计算量要轻微小一些，答案可以通过查“泊松分布表”或者用数学软件来获得。

我随便搜了一下，双色球的中奖率是6.71%（从头奖到尾奖），全年开奖156期。如果你每期都买一注，一年下来“应当”中几次奖？

这就是一个n=156，p=6.71%的n重伯努利实验，而且近似听从泊松分布。最可能出现的中奖次数就是泊松分布里的λ=n×p≈10.5，也就是10次或者11次。那么这种最可能的情景发生的概率有多大呢？通过数学软件可得：≈24%。

当泊松分布中的λ比较大时（大于5），泊松分布在进行“连续性修正”之后，可以看成是一个均值和方差都为λ的正态分布。由于前者是离散型分布后者是连续型分布，所以需要进行“连续性修正”。

比如，上述双色球的问题，也可以近似看成是在一个均值和方差均为10.5的正态分布中，看见值落在[9.5,11.5]之间的概率。

“n重伯努利实验”这个模型在保险精算、质检抽查等各个领域都有广泛的应用。至此我们对概率学中最重要的几种模型都已经有了基本的熟悉。接下来就要进入统计学的世界。

来源:雪球-半场零射门